【知识讲解】

知识内容：

在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：

（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；

（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边

（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：

．

解题思路：

利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）

解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．

注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之．

【例题讲解】

1、如图，已知中，AB = AC = 6，BC = 8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE =B．设BD的长为x，CE的长为y．

（1）当D为BC的中点时，求CE的长；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）如果为等腰三角形，求x的值．

【解析】∵，，

∴．

∴．

∴．

（1）当D为BC中点时，，∴．

（2），x的取值范围为．

（3）分情况讨论，

①当AD = AE时：

∵，∴，此情况不存在；

②当AD = DE时：

∴，即，

解得：（舍）或；

③当AE = DE时：

∴．

∴．

又∵，∴，

∴，解得：，

综上：x的值为2或．

【小结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用．

2、已知，一条抛物线的顶点为E（，4），且过点A（，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且，过点D作轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求证：GH = HK；

（3）当是等腰三角形时，求m的值．

【解析】（1）∵抛物线的顶点为E（，4），∴设抛物线的解析式为（）

又∵抛物线过点A（，0）∴，，∴这条抛物线的解析式为；

（2）∵A（，0），E（，4），C（0，3）

∴直线AE的解析式为；直线AC的解析式为，

∵D的横坐标为m，轴，∴G（m，2m + 6），H（m，m + 3）

∵K（m，0），∴GH = m + 3，HK = m + 3，∴GH = HK；

（3）∵C（0，3），G（m，2m + 6），H（m，m + 3）

1° 若CG = CH，则

解得：，都是原方程的解，但不合题意舍去；所以这种情况不存在．

2° 若GC = GH，则，

解得：，都是原方程的解，但不合题意，舍去．∴；

3° 若HC = HG，则，解得：．

综上所述：当是等腰三角形时，m的值为或．

【小结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择．

【巩固提升】

1、已知：如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90º， BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF//AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．

（1）求线段CF的长；

（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM·cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．

【解析】（1）作AG⊥BC于点G，∴∠BGA = 90°，

∵∠BCD = 90°，AD∥BC，∴AG = DC = 6，

∵tan∠ABC = = 2，∴BG = 3，

∵BC = 11∴GC = 8，∴AD = GC = 8，

∴AE = 3ED，∴AE = 6，ED = 2

∵AD∥BC，AB∥EF，∴BF = AE = 6，∴CF = BC-BF = 5．

（2）过点M作PQ⊥CD，分别交AB、CD、AG于点P、Q、H，

作MR⊥BC于点R，易得GH = CQ = MR．

∵MFcos∠EFC = x，∴FR = x．

∵tan∠ABC = 2，∴GH = MR = CQ = 2x．

∴BG = 3，由BF = 6，得：GF = 3，

∴HM=3 + x，MQ = CF-FR = 5-x，AH = AG-GH = 6-2x．

∵∠AMQ=∠AHM+∠MAH，且∠AMN=∠AHM=90°，

∴∠MAH=∠NMQ，

∴∽，∴，即，

∴，定义域：；

（3）①∠AMN = 90°

1）当点M在线段EF上时，

∵∽，且AM = MN，∴AH=MQ，∴6-2x = 5-x，∴x = 1，∴FM =

2)当点M在FE的延长线上时，同上可得AH = MQ，∴2x-6 = 5-x，∴，∴

②∠ANM = 90°

过点N作PQ⊥CD，分别交AB、AG于点P、H，作MR⊥BC于交BC延长线于交直线PN于点Q，

∵AN = MN，易得≌，∴AH = NQ，HN = MQ = 8

令PH = a，则AH = 2a，DN = 2a，CN = 6-2a

∴FR = 5 + 2a，MR = 8 +（6-2a）= 14-2a，由MR = 2FR得a =，∴FR=，MR=，∴FM =，

综上所述，线段FM的长为或或．

【小结】本题综合性较强，考查的知识点也较多，包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用，并且本题考查的是等腰直角三角形的分类讨论，注意相关性质的运用．

2、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．

（1）当圆C经过点A时，求CP的长；

（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；

（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．

【解析】（1）作AH⊥BC于H．

∴BH = 4，AH = 3，∴CH = 4．

∴，∴CP = AC = 5；

（2）∵AP//CG，∴APCE为平行四边形，

又∵CE = CP， ∴APCE为菱形．

设CP = x，则AP = CP，∴．

即，解得：，∴；

（3）设，则．

∵，∴，．

分情况讨论

AE = AG，解得：；

AE = GE，解得：，此时E在F点右边，舍去；

AG = GE，解得：或，均不可能，舍去．

当AE = 3时，．

【小结】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用，注意第（3）小问中对求出的值的取舍．